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Ingegneria Informatica e Intelligenza artificiale L-8 Freccia destra

Analisi Matematica II

Ingegneria Informatica e Intelligenza artificiale L-8

Analisi Matematica II

Settore scientifico disciplinare	Numero crediti formativi (CFU)	Docente
MAT/05 (MATH-03/A)	9	Danilo Gregorin Afonso

Risultati di apprendimento attesi

'insegnamento di Analisi Matematica II si propone di fornire agli studenti gli strumenti analitici e geometrici necessari per la modellizzazione e la risoluzione di problemi definiti in spazi multidimensionali. Il corso rappresenta l'evoluzione naturale del calcolo infinitesimale unidimensionale, estendendone i concetti cardine — limite, derivata e integrale — a funzioni di più variabili e a campi vettoriali, e aggiungendo anche altri topici avanzati. Al termine del percorso formativo, lo studente dovrà aver acquisito una solida padronanza del calcolo differenziale e integrale per funzioni di più variabili reali, insieme alla capacità di risolvere equazioni differenziali ordinarie e di comprendere i teoremi fondamentali del calcolo vettoriale.

Oltre alle competenze tecniche, i risultati attesi includono:

Lo sviluppo di un rigore logico-deduttivo essenziale per le discipline scientifiche e ingegneristiche.

La capacità di astrazione necessaria per tradurre fenomeni fisici e geometrici in formalismo matematico.

L'acquisizione di un metodo di indagine critico che permetta di validare la coerenza delle soluzioni ottenute.

Conoscenza e capacità di comprensione

Al termine del corso lo studente avrà acquisito:

La conoscenza della topologia dello spazio e delle proprietà fondamentali delle funzioni scalari e vettoriali, inclusi i concetti di limite e continuità.
La comprensione del calcolo differenziale multivariabile, del gradiente e della differenziabilità, estesa fino alle derivate di ordine superiore e alla formula di Taylor.
La teoria di integrazione di Riemann.
La conoscenza delle serie di funzioni, incluse le serie di potenze, di Taylor e di Fourier.
La comprensione della teoria di base delle equazioni differenziali ordinarie (ODE).

Capacità di applicare conoscenza e comprensione

Lo studente sarà in grado di:

Risolvere problemi di ottimizzazione libera e vincolata mediante lo studio dei punti critici, delle forme quadratiche e dell'uso dei moltiplicatori di Lagrange.
Calcolare la lunghezza di curve e l'area di superfici.
Calcolare integrali doppi e multipli utilizzando formule di riduzione e cambiamenti di variabili.
Applicare i teoremi fondamentali del calcolo vettoriale (Gauss-Green, Divergenza, Stokes) per il calcolo di flussi e circuitazioni.
Risolvere equazioni differenziali lineari e non lineari e analizzare modelli differenziali dinamici.

Abilità di giudizio

L’insegnamento si pone l'obiettivo di trasformare lo studente da esecutore di algoritmi di calcolo a soggetto critico capace di valutare e scegliere i percorsi risolutivi più appropriati. Al termine del corso, lo studente dovrà aver acquisito le seguenti capacità:

1. Analisi Critica e Selezione dei Modelli

Valutazione delle Ipotesi: Capacità di verificare rigorosamente l'applicabilità di teoremi fondamentali (es. Teorema della Funzione Implicita, Teoremi della Divergenza o di Stokes) analizzando le proprietà topologiche del dominio e la regolarità delle funzioni coinvolte.
Strategia Risolutiva: Capacità di discriminare tra diversi approcci metodologici per la risoluzione di un problema (ad esempio, scegliere tra integrazione diretta, cambi di coordinate o applicazione di teoremi integrali del calcolo vettoriale) in base a criteri di efficienza e semplicità formale.

2. Validazione e Coerenza dei Risultati

Controllo di Plausibilità: Capacità di interpretare i risultati analitici sotto il profilo geometrico e fisico, identificando eventuali incongruenze (es. volumi negativi, flussi incoerenti con la divergenza del campo o errori di simmetria).
Consapevolezza dei Limiti: Riconoscere i limiti dei modelli matematici trattati, individuando situazioni in cui le condizioni di regolarità non sono soddisfatte (presenza di singolarità, domini non semplicemente connessi, ecc.).

3. Sviluppo del Rigore Formale

Autocorrezione: Capacità di individuare errori logici o procedurali nel proprio ragionamento e in quello altrui, distinguendo tra una "soluzione euristica" e una "dimostrazione rigorosa".
Astrazione: Capacità di giudicare l'estensione di concetti unidimensionali al contesto multidimensionale, comprendendo quando l'analogia con l'Analisi I è valida e quando la maggior complessità dello spazio richiede strumenti nuovi.

Abilità di comunicare

Sulla base del programma fornito, le abilità comunicative attese includono:

Padronanza del linguaggio formale: Saper esporre con precisione definizioni e teoremi relativi alla topologia di , al calcolo differenziale e integrale in , alle equazioni differenziali ordinarie e a successioni e serie di funzioni.
Capacità di argomentazione logica: Saper strutturare dimostrazioni e, più in generale, argomentazioni coerenti di relazione tra causa e effetto.
Descrizione di modelli dinamici: Saper descrivere e interpretare il comportamento di sistemi fisici e biologici attraverso il linguaggio delle equazioni differenziali e dei campi vettoriali.
Comunicazione tecnica dei risultati: Saper illustrare correttamente i passaggi risolutivi di problemi matematici, motivando le scelte metodologiche adottate.
Sintesi e interpretazione grafica: Saper tradurre concetti analitici astratti in rappresentazioni grafiche o geometriche.

Capacità di apprendimento

Al termine del corso, lo studente dovrà aver sviluppato le seguenti capacità:

1. Evoluzione del Metodo di Studio

Passaggio dall'Intuizione al Rigore: Capacità di evolvere il proprio metodo di apprendimento, superando la memorizzazione mnemonica di procedure e approcciando lo studio teorico come un sistema coerente di definizioni, teoremi e dimostrazioni.
Sintesi Multidimensionale: Capacità di integrare concetti provenienti da diverse aree della matematica (algebra lineare, topologia elementare e analisi unidimensionale) per comprendere problemi complessi in spazi a più dimensioni.

2. Autonomia nella Ricerca e Consultazione

Utilizzo delle Fonti: Capacità di consultare autonomamente testi avanzati, articoli scientifici o risorse digitali per approfondire argomenti non trattati estensivamente a lezione o per chiarire dubbi teorici.
Decodifica del Linguaggio Formale: Capacità di leggere e comprendere enunciati matematici nuovi, estraendone il significato operativo e i vincoli logici, anche se presentati con notazioni diverse da quelle utilizzate nel corso.

3. Trasferibilità delle Competenze

Applicazione Interdisciplinare: Capacità di riconoscere strutture matematiche ricorrenti (es. equazioni differenziali, flussi, potenziali) in contesti applicativi diversi (fisica, ingegneria, economia), facilitando l'apprendimento rapido di nuove discipline tecniche.
Problem Solving Astratto: Capacità di modellizzare problemi reali attraverso il calcolo differenziale e integrale, sapendo come aggiornare le proprie conoscenze in base all'evoluzione dei problemi affrontati.

Programma del Corso

Introduzione agli spazi normati

Elementi di topologia

Topologia in Rn

Elementi di Algebra Lineare

Funzioni Reali in Rn

Calcolo dei limiti in Rn

Limiti in R^2 e coordinate polari

Calcolo differenziale in Rn

Differenziabilità in Rn

Derivate direzionali

Criteri di differenziabilità

Funzioni composte

Teoremi del calcolo differenziale

Derivate di ordine superiore

Estremi e punti critici

Estremi e condizioni sufficienti

Studio di massimi e minimi

Complementi alle funzioni differenziabili

Curve in Rn

Lunghezza di una curva

Integrale curvilineo

Successioni di funzioni

Teoremi di inversione dei limiti

Lo spazio C0[a,b]

Serie di Funzioni

Serie di Potenze

Serie di potenze ed esercizi svolti

Introduzione alle serie di Fourier

Sviluppo in Serie di Fourier

Convergenza della Serie di Fourier

Introduzione alle forme differenziali

Forme differenziali esatte

Teoremi sulle forme esatte

Forme differenziali chiuse

Forme chiuse nel piano

Campi vettoriali e forme differenziali

Operatori differenziali

Circuitazione e campi conservativi

Equazioni differenziali ordinarie

Risoluzione di alcune equazioni ordinarie

Risoluzione di equazioni a variabili

Risoluzione di ulteriori tipi di equazioni ordinarie

Regolarità

Equazioni lineari del primo ordine

Equazioni lineari di ordine superiore

Analisi qualitativa

Analisi qualitativa e confronto

Stabilità

Misura e integrazione

Integrali multipli

Cambiamento di variabili negli Integrali multipli

Formule di integrazione

Teoremi della divergenza e di stokes

Sommabilità

Testi consigliati

M. Baronti et al, Calculus Problems.Springer, 2016.
M. Baronti et al, Calculus Problems, II: Several Variables and Series. Springer, 2025.
M. Bertsch - A. Dall’Aglio - L. Giacomelli, Epsilon 2. McGraw-Hill, 2024
M. Bramanti - C. Pagani - S. Salsa, Analisi Matematica 2. Zanichelli, 2009.
N. Fusco - P. Marcellini - C. Sbordone - Lezioni di Analisi Matematica Due. Zanichelli, 2020.
B. R. Gelbaum - J. M. H. Olmsted, Counterexamples in Analysis. Dover, 2003.
E. Giusti, Analisi Matematica 2. Bollati Boringhieri, 2003.
J. H. Hubbard - B. B. Hubbard, Vector Calculus, Linear Algebra, and Differential Forms, 2nd Edition. Prentice Hall, 2002.
P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Analisi Matematica Due, prima parte. Zanichelli, 2018.
P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Analisi Matematica Due, seconda parte. Zanichelli, 2018.
J. R. Munkres, Analysis on Manifolds. CRC Press, 1991.
A. E. Taylor - W. R. Mann, Advanced Calculus. John Wiley & Sons, 1983.
R. Wrede - M. R. Spiegel, Schaum’s Outline of Theory and Problems of Advanced Calculus, 2nd Edition. McGraw-Hill, 2002.

Modalità di accertamento dei risultati di apprendimento acquisiti dallo studente

L'acquisizione dei risultati di apprendimento previsti viene accertata attraverso la verifica del completamento delle attività di autovalutazione presenti alla fine di ogni sezione dell'insegnamento e attraverso la prova d'esame. I test di autovalutazione permettono allo studente di monitorare la propria comprensione degli argomenti somministrati e, nel caso ci siano delle difficoltà, di attivarsi per colmare le lacune o chiedere ulteriori spiegazioni al docente tramite incontri con il docente. Tutti i contenuti trattati nell’ambito dell’insegnamento costituiscono oggetto di valutazione. La valutazione delle competenze acquisite dallo studente avverrà in forma scritta nelle date d’appello previste dall’Ateneo e pubblicate in piattaforma.

Modalità di esame

Propedeuticità

Non ci sono propedeuticità.

Prerequisiti

Analisi Matematica I e Geometria

Organizzazione didattica

Modalità di erogazione del corso: Sono comprese videolezioni e attività di didattica interattiva. Attività didattiche previste Le attività di didattica, suddivise tra didattica erogativa (DE) e didattica interattiva (DI), saranno costituite da 7 ore per CFU e ripartite secondo una struttura di almeno 2,5 ore di DE (tenuta in considerazione la necessità di riascolto) e di 2 ore di DI sincrona per ciascun CFU. Attività didattica erogativa (45 ore): 45 lezioni frontali videoregistrate, della durata di circa 30 minuti ciascuna (tenuta in considerazione la necessità di riascolto) sempre disponibili in piattaforma. Attività didattica interattiva (18 ore): 18 ore in forma di lezioni interattive in aula virtuale saranno svolte in modalità sincrona, organizzate in date e orari concordati e su tematiche di approfondimento e integrazioni del programma per gli studenti che preparano l’esame. Verranno ripetute nel secondo semestre. Attività di autoapprendimento: Lo studente è stimolato a sviluppare autonomia nel problem solving mediante la risoluzione di esercizi non standard e prove di autovalutazione. Il processo di apprendimento è supportato dall'utilizzo di risorse bibliografiche e digitali.

Ricevimento studenti

Online, tramite piattaforma, previo appuntamento col docente.

Obiettivi Formativi

Il corso di Analisi Matematica II costituisce un pilastro fondamentale nel percorso formativo dell'Ingegnere Informatico, estendendo l'orizzonte analitico acquisito in Analisi Matematica I allo spazio multidimensionale e alla dinamica dei sistemi complessi. Gli obiettivi dell’insegnamento sono consolidare il linguaggio matematico formale, necessario per la comprensione della letteratura scientifica e tecnica, e complementare la base matematica per discipline più applicate.

Lezioni